728x90 심화통계학/베이지안 방법론4 4. 포아송-감마 모델(Poisson-Gamma random effect model) 1. 사후 분포 계산하기사전분포가 감마분포, 관측 정보가 포아송 분포를 따를 때의 사후분포를 구하면 사후분포는 아래와 같은 감마분포가 된다. 사후분포를 구하는 예제를 풀어보자. 아래의 표에서 관측치 개수 n은 50, y(사고건수)의 총합은 102임을 이용하면 된다. 아래는 위에서 얻은 사후분포로 도출해낸 평균값, 분산, 중간값이다. 사후분포을 얻게 되어 좋은 점은, 업데이트한 확률분포(사후분포)로 평균값, 분산, 최빈값같은 대푯값들을 추정할 수 있다는 것이다.특히 사후분포가 특성이 알려진 감마분포를 따르기 때문에 많은 값들을 알아낼 수 있다. 2. 예측 분포 계산하기앞에서는 관측치를 반영해 사전분포를 업데이트한 사후분포를 구했다.이제는 사후분포를 바탕으로 새롭게 얻을 데이터 값 y를 예측.. 2024. 4. 13. 3. 베르누이-베타 모델(Bernoulli-Beta random effect model) 1. 사후 분포 계산하기 이전까지 사전분포에 새로 얻게 된 정보를 결합해 사후분포를 추정하는 베이지안 방법을 살펴보았다. 앞에서 배웠던 예시를 아래 예제에 적용해보자. 베르누이-균일 모델(Bernoulli-Uniform random effect model) 아래의 새로운 교육방법이 효과가 있는지 알아보기 위해 40명의 어린이들을 표본으로 삼아 조사한 사례이다. 변수 Xi를 i번째 어린이에게 효과가 있으면 1, 아니면 0 값을 갖는다고 정의하고, Xi는 베르누이 분포를 따른다고 볼 수 있다. 총 15명에게 효과가 있고, 25명에게는 효과가 없다는 결과가 나왔고, 이 정보를 새롭게 반영해 사후 분포를 구하면 된다. 결론적으로 사전 분포가 균일 분포, 관측치가 베르누이 분포를 따를 때 사후 분포는 베타 분포를.. 2024. 4. 10. 2. 베이지안 추정(Bayesian Inference) 구하고자 하는 모수의 확률 분포를 추정하는 방법에는 크게 최대우도추정법(Maximum Likelihood Estimation)과 베이지안 추정법(Bayesian Estimation)이 있다. 베이지안 추정법은 관심있는 모수에 대해 확률분포를 설정하고, 조사를 통해 얻은 관측치의 정보를 추정에 반영하는 것이다. 추정의 절차는 다음과 같다. 추정 시 사용되는 베이즈 이론의 공식은 다음과 같다. 사전분포, 자료에 대한 함수를 이용해 사후분포를 구할 수 있다. 분모의 f(x)를 구할 때 모수가 연속 변수면 적분, 이산 변수면 시그마를 사용해 계산한다. 사전정보, 관측값을 이용해 사후분포를 구하는 예제를 풀어보자. 베이즈 정리를 이용하고 식 변형을 통해 사후분포를 구하면 다음과 같다. 사전분포가 균일분포(Unif.. 2024. 4. 10. 1. 베이즈 정리(Bayes' Theorem) 베이지안 방법론에 대해 배우기 전에 베이즈 정리에 대해 알아보자. 베이즈 정리는 다음과 같이 정리된다. 베이즈 정리가 무엇을 의미하는 지 알기 위해 아랫쪽에 있었던 공식을 자세히 살펴보자. E를 "새롭게 관측해 얻은 값(정보)", A를 "알아내고 싶은 값(정보)"로 생각한다면, P(A|E)는 "새롭게 관측해 얻은 값들을 반영한, 내가 알고 싶은 정보"가 되는 것이다. 베이즈 정리는 새로운 관측값으로 생긴 변화를 확률 계산 시 반영하는 법을 알려주는 식이다. 베이즈 정리에서 등장하는 사전확률, 사후확률이라는 용어에 대해 알아보자. 사전확률(prior probability)는 관측자가 관측 전 가지고 있는 확률분포로, 위 경우에는 P(A)이다. 즉, 새로 관측해 알아낸 값인 E로 업데이트하기 전의 확률이다... 2024. 4. 10. 이전 1 다음 728x90
