728x90 기초통계학/선형대수학15 15. 벡터 공간 (Vector Space) 이번 시간에는 벡터 공간에 대해 알아보자. (공간 벡터와는 완전히 다른 개념이니 혼동하지 말자!!) 벡터 공간이란 덧셈과 스칼라곱의 연산을 정의할 수 있으며 그에 대한 특정 조건을 만족하는 집합(공간)을 의미한다. 특정 조건(벡터 공간의 공리) 에는 8가지가 있다. 즉, 벡터 공간은 1. 덧셈의 연산을 정의할 수 있고 2. 스칼라곱의 연산을 정의할 수 있고 3. 특정한 조건(공리) 8가지를 만족 하는 집합이다. 우리가 평소에 계산하던 숫자, 함수, 벡터, 행렬 등이 이 벡터공간에 속해있고, 우리는 이미 이 벡터 공간 속에서 많은 계산을 해왔다. 오히려 너무 당연하게 여기던 개념을 체계화해서 어렵게 느껴질 수도 있다. 아래 동영상도 벡터 공간을 이해하는데 큰 도움이 된다. (역시 동영상 굿굿,,) http.. 2022. 5. 30. 14. 벡터의 내적 (Inner Product of Vectors) 이번 시간에는 벡터의 내적에 대해 알아보자. 벡터의 내적은 벡터끼리 곱해 스칼라 값이 결과로 나오게 하는 계산이다. 벡터의 내적은 주로 아래의 두가지 식을 사용해 값을 구한다. 1. u∙v=|u||v|cosθ 2. u∙v=u1v1+u2v2+u3v3 내적의 결괏값은 항상 스칼라값으로 표현된다는 점을 주의하자. 내적의 값을 구하는 공식인 u∙v=|u||v|cosθ를 제2코사인법칙을 이용해 증명해보자. 내적은 벡터 사이의 각을 구할 때 매우 유용하다. 벡터의 내적을 이용해 두 백터의 사잇각을 구하는 예제를 풀어보자. 벡터의 내적이 어떻게 과학이나 공학에서 활용되는지 와닿지 않을 수 있다. 직관적이면서도 간단한 벡터의 내적 활용 예시로는 가중치 평균이 있다. 이번에는 내적을 이용해 벡터의 상대적 유사성을 측정해.. 2022. 5. 28. 13. 벡터 (Vector) 기초 2022. 5. 28. 12. 가우스 소거법을 이용한 역행렬의 계산 (Calculation of Inverse Matrix Using Gaussian Elimination) 앞에서 배웠던 가우스 소거법을 이용해 역행렬을 계산하는 과정을 알아보자. 행렬 A의 역행렬을 계산하기 위해서는 좌측에 A, 우측에 항등행렬을 써서 하나의 행렬로 취급한 후 가우스 소거법을 사용하면 된다. 가우스 소거법을 사용해 역행렬을 구하는 예제를 풀어보자. 이를 통해 역행렬을 구하는 방법 세가지를 배우게 되었다. (역행렬은 nxn행렬일 때, 행렬식의 값이 0이 아닐 때 존재) 1. 1x1 행렬, 2x2 행렬 -> 공식 이용 (기억이 안 난다면 -> https://portrait-of-youngblood.tistory.com/8) 2. 모든 nxn 행렬 -> A의 수반행렬/A의 행렬식 (기억이 안 난다면 -> https://portrait-of-youngblood.tistory.com/13) 3. 모든.. 2022. 5. 28. 11. 가우스 소거법 (Gaussian Elimination) 이번 시간에는 "가우스 소거법"에 대해 알아보자. 가우스 소거법을 사용하기 위해서는 "첨가행렬"과 "기본 행연산", "행사다리꼴"이라는 개념을 알아야 한다. 첨가행렬은 선형시스템을 특별한 방식으로 표현한 행렬이고, 기본 행연산은 첨가행렬에서 성립하는 연산 법칙이고, 행사다리꼴은 행렬의 특별한 형태이다. 가우스 소거법은 일차 연립방정식(선형시스템)을 첨가행렬로 표현한 후 기본 행연산을 이용해 행사다리꼴로 만들어 해를 구하는 방법이다. 가우스 소거법을 이용해 연립방정식의 해를 구하는 예제들을 풀어보자. 기본 행연산을 기억해 하나하나 계산하면 된다. 이로써 일차 연립방정식의 해를 구할 수 있는 세가지 방법을 알게 되었다. 1. 가감법 사용하기 (중고등학생 때 사용했던 단순 연산) 2. 선형시스템을 행렬로 표현.. 2022. 5. 25. 10. 크래머의 법칙(Cramer's Rule) 이번 시간에는 "크래머의 법칙"에 대해 알아보자! 지난 시간에는 선형시스템(연립 일차방정식)을 행렬로 표현하는 방법과, "X=A의 역행렬 x B"를 이용해 해를 구하는 방법을 알아보았다. 선형시스템의 해를 구하는 방법에는 공식을 이용하는 방법 말고도 여러가지 방법이 있는데, 그 중 하나가 "크래머의 법칙"이다. 크래머의 법칙은 아래와 같다. 수학적 정의만 읽으면 처음에는 이해가 잘 되지 않을 수 있으므로 예제 풀이를 자주 보는 것을 추천한다,, (쉽게 표현한 부분을 읽으면 이해가 될 수도...?) 크래머 법칙을 이용해 선형시스템의 해를 구하는 예제를 풀어보자. n번째 변수의 해를 알고 싶다면, A의 n번째 열을 빼고 B를 넣어 행렬식을 구한다는 것을 기억하면 된다. 이제 일차 연립방정식의 해를 구할 수 .. 2022. 5. 23. 9. 선형시스템의 해법 (Solution of Linear System) 이번 시간에는 "선형시스템"에 대해 알아보자 선형시스템(연립 일차방정식)을 우리가 배운 행렬로 표현하면 쉽게 연립 방정식을 풀 수 있다. 선형시스템(연립 일차방정식)을 행렬로 나타내기 위해 필요한 정의들과 방법은 다음과 같다. 앞으로 계속 쓰이는 개념이니 잘 이해하고 넘어가야 한다. 선형시스템을 행렬로 표현하는 예는 다음과 같다. 선형시스템은 B=0인 동차 선형시스템과 B/=0인 비동차 선형시스템으로 나뉜다. 간단한 정의이므로 알아두기만 하고 넘어가자. 행렬을 이용해 선형시스템의 해를 구하는 방법은 아래와 같다. 이로써 우리는 일차 연립방정식의 해를 구하는 방법을 두가지 알게 되었다. 1. 가감법 사용하기 (중고등학생 때 사용했던 계수를 일치시켜 항을 소거하는 방식) 2. 행렬로 나타내 X=A의 역행렬 .. 2022. 5. 23. 8. 역행렬의 계산 (Calculation of Inverse Matrix) 이번에는 역행렬의 계산에 대해 알아보자! 이전까지는 역행렬의 간단한 성질, 1x1 행렬과 2x2 행렬의 역행렬을 배웠는데, 3x3보다 행과 열이 큰 정사각행렬의 역행렬을 구하는 방법은 배우지 않았다. (역행렬의 개념이 헷갈린다면,, -> https://portrait-of-youngblood.tistory.com/8 ) 이번 챕터에서는 모든 행렬의 역행렬을 계산할 수 있는 방법을 배운다. 한 행렬과 대응되는 역행렬은 존재할 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있는데 이에 대한 판별은 행렬식을 이용해 할 수 있다. 행렬식의 값이 0인 행렬은 역행렬이 존재하지 않고, 행렬식의 값이 0이 아닌 행렬은 대응하는 역행렬이 존재한다. 그리고 행렬 A의 역행렬은 A의 수반행렬/A의 행렬식 이다. 위에서 설명했던 행렬식과.. 2022. 5. 11. 이전 1 2 다음 728x90
