728x90 행렬수학11 15. 벡터 공간 (Vector Space) 이번 시간에는 벡터 공간에 대해 알아보자. (공간 벡터와는 완전히 다른 개념이니 혼동하지 말자!!) 벡터 공간이란 덧셈과 스칼라곱의 연산을 정의할 수 있으며 그에 대한 특정 조건을 만족하는 집합(공간)을 의미한다. 특정 조건(벡터 공간의 공리) 에는 8가지가 있다. 즉, 벡터 공간은 1. 덧셈의 연산을 정의할 수 있고 2. 스칼라곱의 연산을 정의할 수 있고 3. 특정한 조건(공리) 8가지를 만족 하는 집합이다. 우리가 평소에 계산하던 숫자, 함수, 벡터, 행렬 등이 이 벡터공간에 속해있고, 우리는 이미 이 벡터 공간 속에서 많은 계산을 해왔다. 오히려 너무 당연하게 여기던 개념을 체계화해서 어렵게 느껴질 수도 있다. 아래 동영상도 벡터 공간을 이해하는데 큰 도움이 된다. (역시 동영상 굿굿,,) http.. 2022. 5. 30. 12. 가우스 소거법을 이용한 역행렬의 계산 (Calculation of Inverse Matrix Using Gaussian Elimination) 앞에서 배웠던 가우스 소거법을 이용해 역행렬을 계산하는 과정을 알아보자. 행렬 A의 역행렬을 계산하기 위해서는 좌측에 A, 우측에 항등행렬을 써서 하나의 행렬로 취급한 후 가우스 소거법을 사용하면 된다. 가우스 소거법을 사용해 역행렬을 구하는 예제를 풀어보자. 이를 통해 역행렬을 구하는 방법 세가지를 배우게 되었다. (역행렬은 nxn행렬일 때, 행렬식의 값이 0이 아닐 때 존재) 1. 1x1 행렬, 2x2 행렬 -> 공식 이용 (기억이 안 난다면 -> https://portrait-of-youngblood.tistory.com/8) 2. 모든 nxn 행렬 -> A의 수반행렬/A의 행렬식 (기억이 안 난다면 -> https://portrait-of-youngblood.tistory.com/13) 3. 모든.. 2022. 5. 28. 11. 가우스 소거법 (Gaussian Elimination) 이번 시간에는 "가우스 소거법"에 대해 알아보자. 가우스 소거법을 사용하기 위해서는 "첨가행렬"과 "기본 행연산", "행사다리꼴"이라는 개념을 알아야 한다. 첨가행렬은 선형시스템을 특별한 방식으로 표현한 행렬이고, 기본 행연산은 첨가행렬에서 성립하는 연산 법칙이고, 행사다리꼴은 행렬의 특별한 형태이다. 가우스 소거법은 일차 연립방정식(선형시스템)을 첨가행렬로 표현한 후 기본 행연산을 이용해 행사다리꼴로 만들어 해를 구하는 방법이다. 가우스 소거법을 이용해 연립방정식의 해를 구하는 예제들을 풀어보자. 기본 행연산을 기억해 하나하나 계산하면 된다. 이로써 일차 연립방정식의 해를 구할 수 있는 세가지 방법을 알게 되었다. 1. 가감법 사용하기 (중고등학생 때 사용했던 단순 연산) 2. 선형시스템을 행렬로 표현.. 2022. 5. 25. 10. 크래머의 법칙(Cramer's Rule) 이번 시간에는 "크래머의 법칙"에 대해 알아보자! 지난 시간에는 선형시스템(연립 일차방정식)을 행렬로 표현하는 방법과, "X=A의 역행렬 x B"를 이용해 해를 구하는 방법을 알아보았다. 선형시스템의 해를 구하는 방법에는 공식을 이용하는 방법 말고도 여러가지 방법이 있는데, 그 중 하나가 "크래머의 법칙"이다. 크래머의 법칙은 아래와 같다. 수학적 정의만 읽으면 처음에는 이해가 잘 되지 않을 수 있으므로 예제 풀이를 자주 보는 것을 추천한다,, (쉽게 표현한 부분을 읽으면 이해가 될 수도...?) 크래머 법칙을 이용해 선형시스템의 해를 구하는 예제를 풀어보자. n번째 변수의 해를 알고 싶다면, A의 n번째 열을 빼고 B를 넣어 행렬식을 구한다는 것을 기억하면 된다. 이제 일차 연립방정식의 해를 구할 수 .. 2022. 5. 23. 9. 선형시스템의 해법 (Solution of Linear System) 이번 시간에는 "선형시스템"에 대해 알아보자 선형시스템(연립 일차방정식)을 우리가 배운 행렬로 표현하면 쉽게 연립 방정식을 풀 수 있다. 선형시스템(연립 일차방정식)을 행렬로 나타내기 위해 필요한 정의들과 방법은 다음과 같다. 앞으로 계속 쓰이는 개념이니 잘 이해하고 넘어가야 한다. 선형시스템을 행렬로 표현하는 예는 다음과 같다. 선형시스템은 B=0인 동차 선형시스템과 B/=0인 비동차 선형시스템으로 나뉜다. 간단한 정의이므로 알아두기만 하고 넘어가자. 행렬을 이용해 선형시스템의 해를 구하는 방법은 아래와 같다. 이로써 우리는 일차 연립방정식의 해를 구하는 방법을 두가지 알게 되었다. 1. 가감법 사용하기 (중고등학생 때 사용했던 계수를 일치시켜 항을 소거하는 방식) 2. 행렬로 나타내 X=A의 역행렬 .. 2022. 5. 23. 8. 역행렬의 계산 (Calculation of Inverse Matrix) 이번에는 역행렬의 계산에 대해 알아보자! 이전까지는 역행렬의 간단한 성질, 1x1 행렬과 2x2 행렬의 역행렬을 배웠는데, 3x3보다 행과 열이 큰 정사각행렬의 역행렬을 구하는 방법은 배우지 않았다. (역행렬의 개념이 헷갈린다면,, -> https://portrait-of-youngblood.tistory.com/8 ) 이번 챕터에서는 모든 행렬의 역행렬을 계산할 수 있는 방법을 배운다. 한 행렬과 대응되는 역행렬은 존재할 수도 있고, 존재하지 않을 수도 있는데 이에 대한 판별은 행렬식을 이용해 할 수 있다. 행렬식의 값이 0인 행렬은 역행렬이 존재하지 않고, 행렬식의 값이 0이 아닌 행렬은 대응하는 역행렬이 존재한다. 그리고 행렬 A의 역행렬은 A의 수반행렬/A의 행렬식 이다. 위에서 설명했던 행렬식과.. 2022. 5. 11. 7. 수반행렬과 여인수 전개 (Adjoint Matrix and Minor Expansion) 오늘은 행렬식을 구하는 또다른 방법인 "여인수 전개"에 대해 알아보자 여인수 전개에 대해 배우기 전에 여러가지 정의들을 알고 넘어가야 한다. 소행렬식, 여인수, 수반행렬의 개념이 처음 등장하는데, 복잡한 개념은 아니기 때문에 예시를 몇가지 보다 보면 이해가 잘된다! 소행렬식은 원소가 속한 행과 열을 제거해 만든 행렬의 행렬식, 여인수는 소행렬식에 부호 계산을 한 값, 수반행렬은 여인수를 배치한 행렬이다. 위에서 배운 정의를 이용해 예제를 풀어보자 (처음에는 정의에 따라 예제를 푸는게 노가다로 느껴지지만, 서너번만 해보면 속도가 많이 빨라지니 괜찮다.) 소행렬식, 여인수를 구하는 방법에 익숙해졌다면 "여인수 전개"라는 방법을 행렬식 구하는데 사용할 수 있다. 여인수 전개는 원하는 행 혹은 열 하나를 선택해.. 2022. 5. 10. 5. 치환과 호환 (Permutation and Transposition) 치환과 호환은 행렬을 나타내는 표현방식이다. (단, 특별한 조건을 만족할 때 치환과 호환으로 나타낼 수 있다.) 둘 모두 1행만 있는 행렬의 형태와 비슷하게 생겼다. 치환과 호환은 행렬의 표현방식이고 나중에 더 중요한 개념을 위해 쓰이는 도구일 뿐이니 잘 이해만 하고 넘어가자!! 치환은 아래와 같이 함수로 표현할 수 있다. 함수로 표현된 치환은 일반적인 함수를 합성하듯 합성(곱)할 수 있다. (일반 함수처럼 합성에서 교환법칙이 성립하지 않는다.) 순환하는 치환은 "호환"이라는 형태로 표현할 수 있다. 정리하자면 행렬 -> (특정 조건 만족) -> 치환으로 나타냄 -> (치환이 순환한다면) -> 호환으로 나타냄 요렇게 된다고 볼 수 있다,, 호환은 길이가 2인 순환치환으로, 긴 순환치환 한개(길이 3 이상.. 2022. 4. 24. 이전 1 2 다음 728x90
