6. 여러가지 연속확률분포 (Families of Continuous Distribution)

 

지난 글에서는 연속확률변수의 정의와 성질에 대해 알아보았다.

이번에는 다양한 연속확률분포의 종류에 대해 알아보자. 

 

 

 

1. 균일 분포 (Uniform Random Distribution)

이산확률분포에서도 균일분포가 등장했었지만, 둘은 변수의 형태가 다르기 때문에 확률함수, 평균, 분산이 조금씩 다르다. 

 

 

균일 분포의 평균과 분산에 대한 증명은 다음과 같다. 

 

 

 

2. 지수 분포 (Exponential Distribution)

지수 분포는 사건이 지속되는 시간(다음 사건이 일어날 때까지의 시간 간격)에 관한 분포이다. 

모수는 단이 시간당 사건의 평균 발생 횟수이고, 확률함수를 쓸 때는 역수를 취해주면 된다.

(문제 자체에 역수가 취해져서 나오는 경우도 있다.)

 

 

지수 분포의 평균과 분산에 대한 증명은 다음과 같다. 

 

 

지수분포는 몇가지 수학적 특징을 지닌다. 

1. 지수분포는 α=1, β=1/λ일 때의 감마분포와 같다.

2. 지수분포는 발생시간에 관한 분포, 포아송분포는 발생횟수에 관한 분포로 발생시간과 발생횟수는 서로 역수 관계이다.

3. 무기억 성질을 가진다.

(이산확률변수에서는 기하분포가, 연속확률변수에서는 지수분포가 무기억 성질을 가진다.)

 

 

 

3. 어랑 (얼랑) 분포 (Erlang Random Distribution)

어랑 분포는 사건이 n번째 일어날 때까지 걸리는 시간에 관한 분포로, iid인 (Independent and identically distributed) 지수확률분포의 합과 같다. 

그리고 α가 자연수일 때의 감마분포와 같다. 

 

 

어랑 분포의 평균과 분산에 대한 증명은 다음과 같다.

감마분포의 일종이기 때문에 감마함수의 성질 Γ(α)=(α-1)Γ(α-1),  Γ(α)=(α-1)!을 사용하면 된다. 

 

 

4. 정규 분포 (Normal Distribution, Gaussian Distribution)

통계학에서 가장 중요한 정규 분포는 가우스 분포, 오차 분포라고 불리기도 한다. 

정규분포의 식, 평균, 분산, 그래프의 모양 모두 중요하다. 

 

정규분포가 통계학에서 중요한 이유는 다음과 같다. 

정규분포가 통계학 이론에서 많이 쓰이는 가장 큰 이유는, 원래의 모집단 분포가 무엇이든 표본평균의 분포는 표본 크기 n의 증가에 따라 정규분포로 근접하기 때문이다. 그리고 모집단의 분포를 정규분포라 가정하면 통계분석 자체가 상당히 간편해진다. 물론 모집단의 분포가 정확히 정규분포라는 보장은 전혀 없으나, 허용할 수 있는 오차 수준 이내에서 정규분포 가정을 할 수 있으면 그렇게 하는 것이 유리하다. 현재 광범위하게 쓰이는 통계분석 기법들은 거의 정규분포를 가정하고 있다.

 

 

 

정규분포의 중요한 점 중 하나는, 정규분포를 따르는 값들을 표준화함으로써 평균이 0이고 분산이 1인 표준정규분포를 만들 수 있다는 것이다.

표준화는 평균을 빼고 분산으로 나누면 된다.   

 

 

표준정규분포가 통계학에서 중요한 이유는 다음과 같다. 

표준정규분포가 중요한 이유는, 어떠한 정규분포의 확률로 대응되는 표준정규분포의 확률 표현으로 바꾼 뒤, 표준정규분포를 이용하여 쉽게 원하는 확률값을 얻을 수 있기 때문이다. 표준정규분포의 확률표는 어느 통계학 교재에서도 부록으로 수록되어 있다. 일반적인 정규분포를 표준화하면 표준정규분포가 된다. 

standard_normal_table.pdf

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표준정규분포표를 이용하면 모든 확률을 구할 수 있기 때문에 표준정규분포는 매우 중요한 분포이다. 

 

 

 

이로써 연속확률변수의 특징, 확률밀도함수, 여러가지 연속확률분포에 대해 알아보았다.

다음으로 알아볼 개념은 조건부 확률밀도함수이다. 

조건부 확률함수는 계속 등장하는 개념이므로 정의를 명확히 외워두는 것이 좋다.