3. 전치행렬 (Transpose Matrix)

 

 

이번 포스트에서는 전치행렬에 대해 알아보자. 

전치행렬은 행과 열을 모두 바꾼 행렬인데, 행과 열을 그대로 바꿔 쓰기만 하면 돼서 만들기는 간단하다!

기호로는 지수 위치에 "T"를 붙여 나타낸다.

 

오늘은 순서대로

1. 전치행렬의 개념

2. 전치행렬의 성질

3. 대칭행렬과 교대행렬 (전치행렬을 이용한)

4. 대칭 행렬과 교대행렬의 성질

에 대해 설명할 예정이다.

 

 

전치행렬은 몇가지 기본적인 성질이 있다.

거의 다 직관적으로 이해할 수 있는 성질이라서, 예제에 가끔 실제 행렬을 이용한 증명문제가 등장하는데 문제 풀 때 증명해보는 정도면 충분할 것 같다.

전치행렬의 성질을 이용한 "대칭행렬", "교대행렬"의 개념이 등장한다. 

대칭행렬, 교대행렬의 정의에 전치행렬 개념이 사용된다.

그리고 두 행렬은 전치행렬로도 정의할 수 있지만 생김새로도 정의할 수 있다.

대칭행렬은 주대각성분들(행렬의 왼쪽 위 a11부터 오른쪽 아래 ann까지 이은 것)을 기준으로 대칭인 모양, 교대행렬은 부호가 반대이면서 대칭인 모양이므로, 쉽게 눈으로 파악할 수 있다. 

대칭행렬과 교대행렬은 크게 두가지 성질을 가진다. 

첫번째 주요 성질은 "모든 정사각행렬은 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 나타낼 수 있다"는 성질이다.

그리고 정사각행렬을 표현할 수 있는 대칭행렬과 교대행렬의 개수는 무조건 한쌍식만 존재한다.

이에 대한 증명도 한번 해보자,,(아래 노트에 있다)

교재에 아래와 같은 문제들이 종종 나온다.

정사각행렬, 대칭행렬, 교대행렬의 성질을 이용해 정사각행렬을 대칭행렬과 교대행렬로 쪼개어 나타낼 수 있다.

대칭행렬과 관련된 성질 두번째는 "(원래의 행렬)x(전치행렬)과 (전치행렬)x(원래의행렬)이 모두 대칭행렬"이라는 것이다.

기억해두면 어려운 문제에서 좋은 힌트가 될 수 있을 것 같다