14. 벡터의 내적 (Inner Product of Vectors)

 

 

이번 시간에는 벡터의 내적에 대해 알아보자. 

벡터의 내적은 벡터끼리 곱해 스칼라 값이 결과로 나오게 하는 계산이다. 

벡터의 내적은 주로 아래의 두가지 식을 사용해 값을 구한다.

1. u∙v=|u||v|cosθ

2. u∙v=u1v1+u2v2+u3v3

내적의 결괏값은 항상 스칼라값으로 표현된다는 점을 주의하자. 

 

 

 

 

내적의 값을 구하는 공식인 u∙v=|u||v|cosθ를 제2코사인법칙을 이용해 증명해보자. 

 

 

 

내적은 벡터 사이의 각을 구할 때 매우 유용하다. 

벡터의 내적을 이용해 두 백터의 사잇각을 구하는 예제를 풀어보자. 

 

 

 

벡터의 내적이 어떻게 과학이나 공학에서 활용되는지 와닿지 않을 수 있다. 

직관적이면서도 간단한 벡터의 내적 활용 예시로는 가중치 평균이 있다. 

 

 

 

이번에는 내적을 이용해 벡터의 상대적 유사성을 측정해보자. 

여기서 벡터의 유사성이란 "얼마나 비슷한 방향을 향하고 있는가"를 의미한다. 

두 벡터가 비슷한 방향으로 향할수록 두 벡터의 사잇각 θ가 작아지고, cosθ의 값은 커지며, 내적의 값은 커진다. 

따라서 두 벡터가 비슷한 방향으로 향할수록 내적의 크기가 크다. 

 

 

 

벡터의 내적에도 코시-슈바르츠 부등식을 적용할 수 있다. 

 

 

 

마지막으로, "정사영"이라는 개념이 등장하는데 정사영의 영어 표현인 "orthogonal projection"이라는 말에서 이해할 수 있듯이 점,직선, 도형 위에서 빛을 비췄을 때 생기는 그림자의 모양을 정사영이라고 생각하면 된다. 

빛을 비추는 평면 위로 수선의 발을 내려 그리면 정사영이 완성된다

(아래 그림은 고등학생 때 기하와 벡터를 공부하며 사용했던 책에서 가져왔다. 역시 고등학교 교재가 짱이다..)

 

 

 

이제 정사영을 벡터에 적용해보자. 

정사영의 길이와 벡터를 구하는 식과 유도되는 과정을 꼭 알아두자.

 

 

 

이번 시간에는 벡터의 내적에 대해 알아보았고, 내적을 활용한 사잇각 구하기, 벡터의 유사성 측정, 정사영 구하기를 해보았다. 

개인적으로는 벡터의 내적을 계산할 때 어떤 값이 벡터값이고 어떤 값이 스칼라값인지 잘 구분하고 혼동하지 않도록 주의해야 한다고 생각한다. 언제나 벡터값과 스칼라값을 잘 구분하는 것이 중요하다.