15. 벡터 공간 (Vector Space)

이번 시간에는 벡터 공간에 대해 알아보자. (공간 벡터와는 완전히 다른 개념이니 혼동하지 말자!!)

벡터 공간이란 덧셈과 스칼라곱의 연산을 정의할 수 있으며 그에 대한 특정 조건을 만족하는 집합(공간)을 의미한다.

특정 조건(벡터 공간의 공리) 에는 8가지가 있다. 

즉, 벡터 공간은

1. 덧셈의 연산을 정의할 수 있고

2. 스칼라곱의 연산을 정의할 수 있고

3. 특정한 조건(공리) 8가지를 만족

하는 집합이다.

 

우리가 평소에 계산하던 숫자, 함수, 벡터, 행렬 등이 이 벡터공간에 속해있고, 우리는 이미 이 벡터 공간 속에서 많은 계산을 해왔다. 

오히려 너무 당연하게 여기던 개념을 체계화해서 어렵게 느껴질 수도 있다.

 

 

 

아래 동영상도 벡터 공간을 이해하는데 큰 도움이 된다. (역시 동영상 굿굿,,)

https://tv.naver.com/v/14718913

벡터공간 (vector space)

 

 

 

몇가지 예제들을 풀어보며 벡터 공간의 개념에 대해 익혀보자.

다음 예제는 2차원 벡터평면이 벡터 공간인지 증명하는 예제이다. 

벡터 공간이기 위한 조건 세가지 (덧셈의 연산 정의 가능, 스칼라곱의 연산 정의 가능, 특정한 조건 8가지 만족)를 주어진 2차원 벡터 평면이 만족하는지 증명하자. 

 

 

 

이번에는 R3로 확장해 R3가 벡터 공간임을 증명해보자. 

이때, 8가지 공리 중 1,2,5,6,7 공리는 저명하므로(trivial:수학적으로 너무나 당연함) 3,4,8에 대해서만 증명하도록 하자. 

 

 

 

Rn까지 확장해 벡터공간이 됨을 증명해보자. (여기서 n은 벡터의 개수가 아니라 벡터가 가진 성분의 개수이다.)

 

 

 

이번에는 다항식 전체의 집합이 벡터공간을 이룬다는 것을 증명하자.

(모든 다항식의 계산도 벡터 공간에서 행해짐을 알 수 있다.)

 

 

 

이 외에 영벡터 공간, 행렬 공간 등 많은 집합이 벡터 공간에 속한다. 

모두 벡터 공간의 정의를 이용해 위에서 보였던 예시들과 똑같이 증명되므로 증명은 생략하도록 하겠다. 

 

 

 

 

지금까지 벡터 공간의 정의와 정의를 이용한 증명 예제들을 살펴보았다.

이제 벡터 공간의 성질에 대해 알아보고, 벡터 공간의 정의를 이용해 이를 증명해보자.

벡터 공간의 성질은 매우 간단하고, 우리가 계산을 할 때 대부분 사용했던 성질들이므로 어렵지 않다. 

 

 

 

벡터공간의 공리(벡터공간이 되기 위해 만족해야했던 명제들)을 이용해 증명하자. 

 

 

 

증명 과정 옆에 써넣은 번호는 어떤 공리를 사용했는지 표시한 것이다. (예: 3번 -> "항등원의 존재" 성질 사용)