1. 시행과 확률(Experiments, Models, and Probabilities) - 1

기초확률론은 확률에 대한 수학적 성질들을 배우는 과목이다. 

chapter1과 chapter2는 거의 대부분 통계학1에서 배운 내용으로 이루어진다. 

뒷부분에는 다변수적분이 등장하므로 미분적분학을 배우고 오는 것이 권장된다 (앞부분은 기초 지식이 없어도 괜찮다!)

책은 Probability and Stochastic Processes A Friendly Introduction for Electrical and Computer Engineers (Roy D. Yates and David J. Goodman)을 참고했다.

 

 

 

확률에 대해 이야기하기 전에, 먼저 집합에 대해 알아보자. 

집합의 개념으로 확률을 설명하고, 집합의 체계는 일반 대수학과 다르다. 

집합론의 용어 (표본 공간, 사건, 결과)에 대해 잘 알아두자

그리고 여러가지 집합의 정의에 대해서도 알아두자

 

 

확률을 정의하기 위해 꼭 기억해둬야 하는 두 가지 집합 관계가 등장한다.

1. Mutually exclusive (서로 배반사상)

교집합이 공집합일 때를 의미한다.

2. Collective Exhaustive (전체 포괄)

모든 집합들의 합집합이 전체 집합 (sample space)가 됨을 의미한다. 

 

 

 

 

위 두가지 관계 (mutually exclusive, collectively exhaustive)를 만족시키는 집합들을 분할 (partition)이라고 한다. 

그림을 보면 더 쉽게 이해할 수 있다.

 

 

 

집합론의 법칙 중 하나인 드모르간의 법칙은 계산 과정에서 종종 쓰인다.

드모르간 법칙의 정의와 증명과정을 간단히 살펴보자. 

 

 

 

집합을 정의하기 위해 사용하는 용어들을 정의하자. 

결과 (outcome), 사건 혹은 사상 (event), 표본 공간 (sample space)를 헷갈리지 않아야 하는데,

특히 표본 공간은 각 시행의 원소들이 세분되고 (finest-grain), 서로 배반 사상이고 (mutually exclusive), 모든 사상을 포함 (collectively exhausive)해야 한다. 

 

 

 

위에서 정리한 용어들을 사용해 확률의 공리를 정의하자.  

확률의 공리는 세가지로, 모두 "공리"이므로 추가적인 증명 없이 받아들이면 된다.

 

 

공리를 이용해 확률의 기본적인 정리를 증명하자. 

공리는 증명이 필요없지만, 정리는 증명된 공리와 정리를 통해 증명해야 한다.

 

 

 

매우 중요한 개념인 조건부 확률 (Conditional Probability)에 대해 알아보자. 

조건부 확률의 정의와, 다른 표현법을 모두 정확히 알아야 한다.

조건부 확률은 표본공간을 좁혀서 계산한 확률이라는 것을 직관적으로 이해하면 좋다!

 

 

 

분할을 이용한 전체 확률의 법칙 (Low of Total Probability)는 그림과 예제를 통해 쉽게 이해할 수 있다. 

확률 문제를 풀 때 자주 쓰게 되는 유용한 성질이다.